全向輪，全向移動2,3,4輪小車，變換矩陣。
設李雅普諾夫函數為 V1=;(x2+y2+0) 求其導數如下,當漸進穩定時導數小于0 Ⅵ1=xx+yy+a de =-kxre, ye ke8 上式系數為正時,李雅普諾夫函數的導數小于零,系統漸進穩定 代入微分方程得到控制律如下: + vr cos日a+k -xea+ v sin 8e t kyy +ke0 22差動輪直角坐標運動學方程 差動輪與全向輪的區別是,全向輪小車速度方向與四個輪子的共同朝向相同 可為仼意方向,而差動輪小車的切向速度方向與X軸重合,故方程中v=0微分 方程如下 v+v cos 0 PR xet vr sin 221差動輪直角坐標下控制律設計 選擇 Lyapunov函數如下: V2=(x2+y2)+(1 k(-cosee 對上式沿求導 +-。sin6 e cea-v+ vr cos ee)+yec-xew+ vr sin ge) D sin 0 rev+xe vr cos 8e+yevr sin Be+rwr sin 0e -- sin 8 e 1 1 -Xev+xevr cos Be year sin 0e +Wrsin eeksinbe 選擇如下速度控制輸入 s。+kxx Ort vr(kye t kosine e) 將上式代入 Lyapunov函數導數得到 e sin 2 0 當上式系數為正時,V2≤0,故以上 Lyapunov函數選擇正確。 由此得到堪于運動學模型的軌跡跟蹤速度控制律為2: os 8+lc V(kye t resin 其中,k,kx,k為控制器參數。 22.2控制器參數選取 將控制律代入微分方程得下式 (rt vr (lye t)) xe R ye xe(ar+ vr(kye t kesinee))+ vr sin Be -v (kye t kesinee) 上式在零點附近線性化,忽略高次項得 PR= Ap A 0 Vrky -vr ke 系數值與角速度和速度指令值共同決定系統根,當系數為正是所有根為負數。 23對比仿真與結果 仿真系統結果圖如下 ct (pea qle) p(7) elror xPe, qe) 圖3軌跡跟蹤結構圖 圖中q(yo),v、o分別為移動機器人的線速度和角速度,ε1=(xy0)r, 對于差動機器人運動學方程可表示為: COS日0 Stn 圖中 J-sine0:pR=y):qa 對于全向輪機器人運動學方程可表示為 60 sine cose ov=R(O)1 vy 對角速度為0.2和線速度為5的圓形軌跡進行跟蹤,仿真結果如下圖: 35 30 25 0 15 10 -5 圖4圓形軌跡跟蹤仿真圖 圖中×點線為差動輪跟蹤軌跡,O點線為全向輪跟蹤軌跡。 、全向輪平臺的設計 對全向輪采用如下圖所示的結構時,進行系統分析與設計 圖5互補型全向輪( omni wheels 31運動學模型 X 圖6全向輪式移動機器人運動學模型 移動坐標X-Y固定在機器人重心上,而質心正好位于幾何中心上。機器人 P點在全局坐標系的位置坐標為:(x2y,0),三個全向輪以3號輪中心轉動軸反 方向所為機器人的ⅹ軸。假設三個全向輪完全相同,三個全向輪中心到車體中 心位置的距離L。在移動坐標X-Y的速度用 1xe 1表示。 由文獻[3可得三個全間輪的速度與其在移動坐標和全局坐標系下的速度分 量之間的關系分別為以下二式 sin(60) xe V)=(-s(60os60)()= 0 1 1-21-2 1 3×3y sin(60-0)Cos(60-6) sin(60+6)cos(60+6)Ly sine cose 32動力學模型 在移動坐標X-Y中,設機器人在沿軸X2和Y方向上收到的力分別為Fx和 Fyc第1、2、3號驅動輪提供給機器人的驅動力分別為f1、衛、3,機器人慣性轉 矩為M,根據牛頓第二定律可得到如下的動力學方程: 3√3 cos(30)-cos(30)01f Fre=sin(30) sin (30) 1 M L 2 L Tb22/2 在地理坐標系X一Y下的方程如下: mx cos(30+0)-cos(30-0) sing 1fi Fr= sin(30+0)sin(30-0)-cosefz L 33基于動力學模型的控制器設計 如上式所示,基于機器人動力學模型的控制方案,直接根據機器人的動力學 模型設訃運動控制器,控制器的輸出為機器人上驅動電機的驅動電壓。基于動力 學模型的控制方案,不需對驅動電機進行底層的速度控制,消除了底層速度控制 帶來的延時。 由功力學方程: nmx 3×3 M」 可知在休坐標系中各個方向上的控制輸入輸出是獨立的并且相互之間無耦 合;于是可在體坐標中對各個控制量分別進行控制。 當以各個電機電壓作為控制量U時,對體坐標系中各個方向上的控制量UF 經過Ta3×3變換后得到各個電機的控制量 U UF 先對輸入UF到體坐標各個方冋上速度V的系統等效參數[m′門進行辨識, 得到由控制量UF到體坐標速度Ⅴ的傳遞函數:然后設計UF的控制器,經過變 換后得到各電機的電壓U; 速度控制指令 1xe vye (l由第2節控制律求得。 34基于編碼器的位姿推算 圓弧模型在文獻L4中介紹機器人里程計圓弧模型是把移動機器人在運動過 程中的實際軌跡通過圓弧去逼近 2 3 4 圖7平臺樣品示意圖 YAY R 11 B(x12+1 1Un-1 XA A( r() 圖8采樣期間的圓弧運動軌跡 圖中A(xmy,0n)和B(xnx+1,yn+1,On+1)分別為在采樣時問間隔內起始點與終 點的位姿坐標,AB為采樣期間的圓弧軌跡,利用圖中兒何關系可以得到運動軌 跡為圓弧時的推算公式如下 L(△SR+△S少sin △SR-△S n+1 xn+ 6n+ 2(△ sinen R △S L(ΔSR+△S △S Yn+1=yn COS +<R-△5u COS 2(△SR-△SL) △S R L 1△SR-△SL較小時可采用直線模型 (△SR+△S) △S R △S In t -cos Bn+ (△SR+△S) △SR-△SL n+1=yn t sin,+ L R △S n+1 6n+ 隨著移動距離的增加,誤差逐淅加大,其誤差的來源主要包括系統誤差和非 系統誤差。系統誤差跟實際采用的器件的精度和測量上的誤差等方面產生的;非 系統誤差是在移動過程中隨機發生的誤羞,主要包括:測位輪子的打滑、路況等 由于非系統誤差不容易消除,因此,這里將通過實驗的方法來校準機構的安 裝精度,減小因系統誤差對定位精度產生較大影響。 影響測量誤差的主要參數是編碼器輸出一個脈沖對應輪了運動的距離和兩 個定位輪之間的距離L,r和L精度校正的具體方法和實現步驟如下: 編碼器一個脈沖代表定位輪運行的距離η校正方法:使兩個定位輪在室內平 面上沿著一條5米長度的直線運行,編寫軟件程序,對與定位輪同軸相連的兩 個自由編碼器的輸岀脈沖進行計數,將該數值記錄左右自由編碼器輸出脈沖個數 NL和NR,根據公式 5000 mm NL t NR/2 求出每次測量計算得到r的值,再取平均值即可。經過多次測試實驗結果列 表 定位輪之間的距離L校正方法:在平地上,使測位裝置從某一起始位置出發, 順時針或逆時針旋轉n后再回到該出發位置,記下在該過程與左右定位輪相連 的編碼器輸出的脈沖數分別為NL,NR,根據公式 (N -NR*r 27 求出每次測量計算得到L的值,再取平均值即可。經過多次測試兩定位輪之 間距離L校止實驗列表。 四、 Mecanum輪平臺的設計 由于全向輪存在承重不高,小輪容易磨損的問題,顧在載重較高情況下可考 慮 Mecanu輪; Mecanu輪采用滾輪與軸線成45夾角的結構,如下圖所示 圖9麥克納姆輪( Mecanum w 假設圖中小輥子可沿徑向自由滾動,而沿軸向與地面無滑動。 41運動學模型 4