利用翻譯算子，我們得到了作用于單項式上的微分算子形式的算術(shù)級數(shù)和階伯努利多項式的冪和。 由此得出，施加在冪和上的（d / dn-d / dz）具有含義，并且精確等于相同階數(shù)的伯努利多項式。 從這個新的屬性中，我們得到一個公式，該公式給出伯努利多項式的連續(xù)導(dǎo)數(shù)之和與n階相同的本原之和的冪和。 然后通過將兩個自變量z，n更改為Z = z（z-1），λ，其中λ設(shè)計了一階冪和，并證明對于等于0、1 / 2、1的自變量，奇數(shù)次的Bernoulli多項式消失了，我們?nèi)菀椎馗鶕?jù)系數(shù)決定Z的λ中的多項式輕松地求出冪和的Faulhaber公式。發(fā)現(xiàn)這些系數(shù)是Z表示的整數(shù)上的奇次冪和的導(dǎo)數(shù)。通過這種方式，我們得出