function?y?=?Disfrft（fap）
%
%?Computes?discrete?fractional?Fourier?transform
%?of?order?a?of?vector?x
%?p?（optional）?is?order?of?approximation?default?N/2
%
%
?
N?=?length（f）;?even?=?~rem（N2）;
shft?=?rem（（0:N-1）?+?fix（N/2）N）+1;
f?=?f（:）;
if?（nargin?==?2）?p?=?N/2;?end;
p?=?min（max（2p）N-1）;
E?=?dFRFT（Np）;
y（shft1）?=?E*（exp（-j*pi/2*a*（[0:N-2?N-1+even]））.‘?.*（E‘*f（shft）））;
?
function?E?=?dFRFT（Np）
%
%?function?E?=?dFRFT（Nap）?returns?the?NxN?eigenvectors?of?the
%?Fourier?transform?matrix
%?The?optional?argument?p?is?the?order?of?approximation
?
global?E_saved?p_saved
?
if?（length（E_saved）?~=?N?|?p_saved?~=?p）
????E?=?make_E（Np）;
????E_saved?=?E;?p_saved?=?p;
else
????E?=?E_saved;
end;
?
function?E?=?make_E（Np）
?
%?Returns?sorted?eigenvectors?and?eigenvalues?of?corresponding?vectors
?
%?Construct?matrix?H?use?approx?order?ord
?
d2?=?[1?-2?1];?d_p?=?1;?s?=?0;?st?=?zeros（1N）;
for?k?=?1:p/2
????d_p?=?conv（d2d_p）;
????st（[N-k+1:N1:k+1]）?=?d_p;?st（1）?=?0;
????temp?=?[1:k;1:k];?temp?=?temp（:）‘./[1:2*k];
????s?=?s?+?（-1）^（k-1）*prod（temp）*2*st;???????
end;
?
%?H?=?circulant?+?diagonal
?
col?=?（0:N-1）‘;?row?=?（N:-1:1）;
idx?=?col（:ones（N1））?+?row（ones（N1）:）;
st?=?[s（N:-1:2）.‘;s（:）];
H?=?st（idx）?+?diag（real（fft（s）））;
?
%?Construct?transformation?matrix?V
?
r?=?floor（N/2）;
even?=?~rem（N2）;
V1?=?（eye（N-1）?+?flipud（eye（N-1）））?/?sqrt（2）;
V1（N-r:endN-r:end）?=?-V1（N-r:endN-r:end）;
if?（even）?V1（rr）?=?1;?end
V?=?eye（N）;?V（2:N2:N）?=?V1;
?
%?Compute?eigenvectors
?
VHV?=?V*H*V‘;
E?=?zeros（N）;
Ev?=?VHV（1:r+11:r+1）;???????????Od?=?VHV（r+2:Nr+2:N）;
[veee]?=?eig（Ev）;???????????????[voeo]?=?eig（Od）;
?
%
%?malab?eig?returns?sorted?eigenvalues
%?if?different?routine?gives?unsorted?eigvals?then?sort?first
%
%?[dinde]?=?sort（diag（ee））;??????[dindo]?=?sort（diag（eo））;
%?ve?=?ve（:inde‘）;???????????????vo?=?vo（:indo‘）;
%
?
E（1:r+11:r+1）?=?fliplr（ve）;?????E（r+2:Nr+2:N）?=?fliplr（vo）;
E?=?V*E;
?
%?shuffle?eigenvectors
?
ind?=?[1:r+1;r+2:2*r+2];?ind?=?ind（:）;
if?（even）?ind（[NN+2]）?=?[];?else?ind（N+1）?=?[];?end
E?=?E（:ind‘）;

?屬性????????????大小?????日期????時間???名稱
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?????文件???????2142??2015-05-30?21:12??分數階盲水印傅里葉變換--已實現\Disfrft.m

?????文件????????352??2007-07-04?23:17??分數階盲水印傅里葉變換--已實現\frft2d.m

?????文件???????2843??2018-04-10?21:14??分數階盲水印傅里葉變換--已實現\frft_main.m

?????文件?????149053??2007-07-04?23:17??分數階盲水印傅里葉變換--已實現\lena.jpg

?????文件????????574??2018-04-10?16:51??分數階盲水印傅里葉變換--已實現\watermark.bmp

?????文件??????12220??2018-04-10?20:58??分數階盲水印傅里葉變換--已實現\watermark.jpg

?????文件??????11248??2018-04-10?21:13??分數階盲水印傅里葉變換--已實現\watermark1.jpg

?????目錄??????????0??2018-04-10?21:13??分數階盲水印傅里葉變換--已實現

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