雙周期的亞純函數。它最初是從求橢圓弧長時引導出來的，所以稱為橢圓函數。橢圓函數論可以說是復變函數論在19世紀發展中最光輝的成就之一。 任何討論橢圓函數的歷史發展必先詳盡地考察18世紀的橢圓積分 這個結果來自18世紀數學家們的努力 是為了表達橢圓和雙曲線的弧長 橢圓和雙曲線可求長的問題引起了 18 世紀一流數學家的注意力 18世紀關注并對橢圓積分做出貢獻的數學家有 約翰 伯努利 ，法尼亞諾， 蘭登，拉格朗日，最突出的貢獻是歐拉的橢圓積分的加法定理和蘭登變換但總的說來 這些成就還是比較分散零星，直到18世紀后半期和19世紀 數學史上從勒讓德對橢圓積分的全面論述開始 勒讓德的著作 橢圓函數論 給數學史家留下深刻印象 其中出現了人們熟知的三種橢圓積分的勒讓德正規形式 到雅可比和阿貝爾的橢圓函數發生了很大的一個飛躍，這個飛躍包含了橢圓積分的反演。 雅可比建立的橢圓函數理論極大地擴充了數學領域 特別是與復分析的結合不斷有更廣泛的理論統一了橢圓函數理論，同時也成為實際應用中有力的工具 這與雅可比建立橢圓函數理論的思想密不可分，從雅可比奠基性的工作中可以清楚地理出這一數學分支的發展脈絡及其承前啟后的作用